Determine a solução ótima do seguinte problema de PL: max z=25x1+15x2 s.a. 2x1+3x2<=50 <= x1 <=10 x2<=15 x1>=0, x2>=0

Alternativa D

O problema apresentado é um modelo clássico de Programação Linear (PL), cujo objetivo é maximizar uma função linear sujeita a restrições lineares. Para encontrar a solução ótima entre as opções fornecidas, devemos verificar quais pontos satisfazem todas as condições impostas pelo enunciado.

Análise dos Dados

Primeiro, listamos os componentes do problema para facilitar a verificação:

• Função Objetivo: Maximizar z = 25x_1 + 15x_2
• Restrições:

1. $2x_1 + 3x_2 \leq 50$
2. x_1 \leq 10
3. x_2 \leq 15
4. x_1 \geq 0, x_2 \geq 0 (Não negatividade)

Verificação das Alternativas

A maneira mais eficiente de resolver questões de múltipla escolha como esta é testar cada alternativa nas restrições. Uma solução inviável que viole qualquer regra não pode ser a resposta correta.

• Alternativa A (x_1=10, x_2=15):
• Teste na restrição 1: $2(10) + 3(15) = 20 + 45 = 65$.
• Como $65 > 50$, esta alternativa viola a primeira restrição. É inviável.
• Alternativa B (x_1=15, x_2=15):
• Teste na restrição 2: x_1 = 15.
• Como $15 > 10$, esta alternativa viola a segunda restrição. É inviável.
• Alternativa C (x_1=15, x_2=10):
• Teste na restrição 2: x_1 = 15.
• Como $15 > 10$, esta alternativa também viola a segunda restrição. É inviável.
• Alternativa D (x_1=10, x_2=10):
• Teste na restrição 1: $2(10) + 3(10) = 20 + 30 = 50$. (Satisfaz $50 \leq 50$)
• Teste na restrição 2: $10 \leq 10$. (Satisfaz)
• Teste na restrição 3: $10 \leq 15$. (Satisfaz)
• Esta alternativa respeita todas as restrições. É viável.

Cálculo da Função Objetivo

Como apenas a alternativa D é viável, ela é necessariamente a solução ótima entre as opções. Podemos calcular o valor de z para confirmar:

Isso representa o máximo lucro possível dentro das limitações dadas.

Conclusão

A única solução que satisfaz todas as equações e inequações do sistema é aquela onde x_1 = 10 e x_2 = 10.

Alternativa D