Durante uma promoção em uma loja de eletrônicos, cada cliente que realizou uma compra recebeu um cupom com um número inteiro diferente. Ao fim do período promocional, a loja decidiu realizar um sorteio, considerando os cupons que satisfizessem a inequação |2x - 50| < 70. Qual é o intervalo ao qual os cupons, que serão considerados para o sorteio, pertencem?

Alternativa B

Para resolver essa questão, precisamos encontrar os valores de $x$ que satisfazem a condição dada pela ineqação modular $|2x - 50| < 70$. O valor absoluto representa a distância de um número até a origem na reta numérica. Quando temos uma desigualdade do tipo $|A| < B$ (com $B$ positivo), isso significa que o valor dentro do módulo deve estar entre $-B$ e $B$.

Vamos aplicar essa propriedade passo a passo para isolar a variável $x$:

1. Expandir a ineqação modular:

Transformamos $|2x - 50| < 70$ em uma ineqação composta:
$$-70 < 2x - 50 < 70$$

1. Isolar o termo com $x$:
   Somamos $50$ a todas as partes da ineqação para eliminar o $-50$:
   $$-70 + 50 < 2x < 70 + 50$$
   $$-20 < 2x < 120$$
2. Resolver para $x$:
   Dividimos toda a ineqação por $2$ para deixar $x$ sozinho:
   $$\frac{-20}{2} < \frac{2x}{2} < \frac{120}{2}$$
   $$-10 < x < 60$$

Análise

• Propriedade utilizada: Para $|u| < k$ (onde $k > 0$), vale a equivalência $-k < u < k$.
• Erro comum: Um erro frequente é esquecer de dividir pelo coeficiente angular ($2$) no final, o que levaria ao intervalo $-20 < x < 120$ (Alternativa E).
• Comparação dos limites:

Portanto, os números inteiros dos cupons válidos pertencem ao intervalo aberto entre $-10$ e $60$.

Alternativa B.