Alternativa E
A questão propõe a resolução de uma inequação produto, onde o produto de dois fatores deve ser estritamente negativo ($< 0$). Para encontrar o conjunto solução, precisamos identificar as raízes das expressões envolvidas e analisar os intervalos formados por elas.
Resolução Passo a Passo
Para resolver a inequação $(x - 2)(3x - 4) < 0$, seguimos estes passos lógicos:
- Encontrar as raízes: Igualamos cada fator à zero para descobrir os pontos críticos na reta real.
- Primeiro fator: $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$
- Segundo fator: $3x - 4 = 0 \Rightarrow 3x = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{3}$
- Ordenar as raízes: É fundamental saber qual número é maior para definir o intervalo correto.
- Sabemos que $1 = \frac{3}{3}$, logo $\frac{4}{3}$ é maior que 1.
- Comparando $\frac{4}{3}$ e $2$: Como $2 = \frac{6}{3}$, temos que $\frac{4}{3} < 2$.
- Determinar o intervalo:
- O sinal da inequação é negativo ($< 0$).
- Em uma inequação produto com sinal negativo, a solução encontra-se entre as raízes.
- Portanto, $x$ deve ser maior que a menor raiz e menor que a maior raiz.
$$ \frac{4}{3} < x < 2 $$
Isso pode ser escrito na forma de conjunto solução como:
$$ \left\{ x \in \mathbb{R} \mid \frac{4}{3} < x < 2 \right\} $$
Análise das Alternativas
| Alternativa | Intervalo Proposto | Correto? | Motivo |
|---|
| A | $x > 2$ | ❌ | Indica apenas um lado da reta. |
| B | $x < 2$ | ❌ | Inclui valores menores que $\frac{4}{3}$, tornando o produto positivo. |
| C | $x < \frac{4}{3}$ | ❌ | Apenas o lado esquerdo da reta. |
| D | $x < \frac{4}{3} \text{ e } x > 2$ | ❌ | Lógica incorreta ("e" implica interseção vazia neste contexto). |
| E | $\frac{4}{3} < x < 2$ | ✅ | Representa corretamente o intervalo entre as raízes. |
A alternativa E apresenta exatamente o intervalo encontrado, situando $x$ entre $\frac{4}{3}$ e $2$.