Em processamento de sinais digitais, dois vetores em ℝ² foram filtrados: u=(1,1), v=(1,-1). Para análise de frequência, é necessário normalizá-los, de modo a obter uma base ortonormal após a normalização. Assinale a alternativa que apresenta a base ortonormal obtida com este processo.

Alternativa E

A questão aborda o conceito de base ortonormal, fundamental em Álgebra Linear e Processamento de Sinais. Para resolver, precisamos garantir que os vetores sejam ortogonais (produto escalar zero) e unitários (norma igual a 1).

Análise do Problema

Os vetores dados são u = (1, 1) e v = (1, -1). O objetivo é transformá-los em uma base ortonormal através da normalização.

Passos da Resolução

1. Verificação de Ortogonalidade
   Primeiro, confirmamos se os vetores são ortogonais calculando o produto escalar:
   u \cdot v = (1)(1) + (1)(-1) = 1 - 1 = 0
   Como o resultado é zero, os vetores já são ortogonais.
2. Cálculo das Normas
   A norma (módulo) de um vetor x = (x_1, x_2) é dada por \|x\| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2}.

• Norma de u:
  \|u\| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}
• Norma de v:
  \|v\| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}

1. Processo de Normalização
   Para normalizar, dividimos cada componente do vetor pela sua norma (\hat{x} = \frac{x}{\|x\|}).

• Vetor normalizado \hat{u}:
  \hat{u} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1) = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)
• Vetor normalizado \hat{v}:
  \hat{v} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, -1) = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right)

Conclusão

A base formada pelos vetores normalizados é:
\left\{ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right), \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \right\}

Esta composição corresponde exatamente à Alternativa E.