Em sistemas digitais a resposta em frequência também pode ser representada pela função de transferência (função de transferência). Esta função representa a relação entre a entrada e saída do sistema no plano complexo. A função do sistema representa o comportamento do mesmo em tempo discreto. Para a função do sistema existe a correspondente resposta ao impulso no domínio do tempo. Todos os sistemas de processamento precisam cumprir certos determinados exigências de acordo com o tipo de processamento que o sinal precisa, eles devem ter características específicas como linearidade, invariância no tempo, estabilidade, entre outras. Considerando um sistema qualquer cuja função deste sistema está representada na equação a seguir: H(z) = 1 / (1 - 0.1z⁻¹ - 0.2z⁻²) Qual (ou quais) das seguintes afirmações está correta?

Alternativa E - Somente i

Vamos analisar cada uma das afirmativas com base na função de transferência fornecida:

1. Análise da Equação de Diferenças (Afirmativa iii)

Para encontrar a equação de diferenças, usamos a relação H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)}:

Multiplicando cruzado:
Y(z) \cdot (1 - 0.1z^{-1} - 0.2z^{-2}) = X(z)
Y(z) - 0.1z^{-1}Y(z) - 0.2z^{-2}Y(z) = X(z)

Isolando Y(z) e aplicando a transformada inversa (lembrando que z^{-k} representa um atraso de k unidades no tempo):
y[n] = x[n] + 0.1y[n-1] + 0.2y[n-2]

A afirmativa iii diz que y[n] = x[n-1] + \dots. O termo de entrada deveria ser x[n], não x[n-1]. Portanto, a afirmativa iii é falsa.

2. Análise dos Polos e Estabilidade (Afirmativa i)

A estabilidade do sistema depende da localização dos polos da função de transferência. Os polos são as raízes do denominador:
1 - 0.1z^{-1} - 0.2z^{-2} = 0

Multiplicando por z^2 para facilitar o cálculo:
z^2 - 0.1z - 0.2 = 0

Resolvendo a equação quadrática:
z = \frac{0.1 \pm \sqrt{(-0.1)^2 - 4(1)(-0.2)}}{2}
z = \frac{0.1 \pm \sqrt{0.01 + 0.8}}{2} = \frac{0.1 \pm 0.9}{2}

Os polos encontrados são:

• p_1 = 0.5
• p_2 = -0.4

Um sistema discreto é estável se todos os polos estiverem dentro do círculo unitário (módulo menor que 1).
Como |0.5| < 1 e |-0.4| < 1, o sistema é estável. Portanto, a afirmativa i é verdadeira.

3. Análise da Região de Convergência (Afirmativa ii)

A Região de Convergência (RDC) deve excluir os polos. Para um sistema causal (que é o padrão para sistemas estáveis neste contexto), a RDC é definida fora do polo mais distante da origem.
O maior módulo entre os polos é $0.5$.
Logo, a RDC correta seria |z| > 0.5.

A afirmativa ii afirma que a RDC é |z| > 0.4. Isso está incorreto porque a região incluiria o polo em $0.5$, o que é impossível. Portanto, a afirmativa ii é falsa.

Conclusão

• Afirmativa i: Verdadeira
• Afirmativa ii: Falsa
• Afirmativa iii: Falsa

A única alternativa correta é a que indica somente a afirmativa i.

Alternativa E