Em um depósito, havia 512 caixas empilhadas. Certo dia, x³ dessas caixas foram retiradas para entrega, sem que houvesse reposição. A forma fatorada da quantidade de caixas restantes é:

Alternativa A

Para resolver esta questão, precisamos transformar a situação descrita em uma expressão matemática e, em seguida, aplicarmos o método de fatoração de polinômios, especificamente a diferença de cubos.

Análise Matemática

1. Montagem da Expressão:

• O depósito tinha inicialmente 512 caixas.
• Foram retiradas $x^3$ caixas.
• A quantidade restante é dada pela subtração: $512 - x^3$.

1. Identificação dos Cubos Perfeitos:

• O número 512 pode ser escrito como uma potência de base inteira: $512 = 8 \times 8 \times 8 = 8^3$.
• Portanto, a expressão é uma diferença de dois cubos perfeitos: $8^3 - x^3$.

1. Aplicação da Fórmula da Diferença de Cubos:
   A fórmula geral para fatorar uma diferença de cubos (a^3 - b^3) é:
   a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

No nosso caso:

• a = 8
• b = x

Substituindo os valores na fórmula:

• Primeiro parêntese (a - b): (8 - x)
• Segundo parêntese (a^2 + ab + b^2): (8^2 + 8 \cdot x + x^2)

Calculando o quadrado de 8 ($8^2 = 64$), temos:
(8 - x)(64 + 8x + x^2)

Conclusão

Comparando o resultado obtido com as alternativas apresentadas na imagem, vemos que ele corresponde exatamente à primeira opção.