Análise da Questão de Programação Linear
Esta questão aborda a interpretação de resultados de um modelo de Programação Linear, especificamente focando na lógica de maximização de uma função objetivo sujeita a restrições.
1. Entendendo a Função Objetivo
O objetivo é maximizar o valor Z:
Z = 22x_1 + 4x_2 + 19x_3 + 4x_4
Observe os coeficientes (o "valor" que cada variável agrega ao total):
- $x_1$: Valor 22 (Mais alto)
- $x_3$: Valor 19 (Segundo mais alto)
- x_2 e $x_4$: Valor 4 (Baixos)
Lógica Didática: Em problemas de maximização, o algoritmo tende a priorizar as variáveis com coeficientes maiores, desde que as restrições permitam. Ou seja, o sistema "quer" colocar o máximo possível de x_1 e x_3.
2. Analisando a Restrição Chave
Há uma restrição específica que envolve x_3 e x_4 diretamente:
x_3 + x_4 \leq 150
Isso significa que a soma dessas duas variáveis não pode ultrapassar 150.
- Se você aumenta x_3, precisa diminuir x_4 (e vice-versa).
- Como x_3 vale 19 para o resultado final e x_4 vale apenas 4, é matematicamente vantajoso maximizar x_3 e manter x_4 no mínimo possível (geralmente zero).
Portanto, na solução ótima, espera-se que x_3 seja o mais próximo de 150 possível e x_4 seja próximo de 0.
3. Avaliação das Alternativas
- Alternativa A (x1 > 2000):
Olhe a terceira restrição: $200x_1 + \dots \leq 400000$.
Se isolarmos apenas x_1: $200x_1 \leq 400000 \Rightarrow x_1 \leq 2000$.
Como existem outras variáveis ocupando espaço nessa restrição (como x_3), o valor de x_1 será obrigatoriamente menor que 2000. Alternativa Incorreta. - Alternativa B (x4 entre 100 e 200):
Como explicado acima, x_4 é pouco rentável (valor 4) comparado a x_3 (valor 19). O algoritmo não atribuiria valor alto a x_4 enquanto houver capacidade de aumentar x_3. O valor de x_4 tenderia a ser 0. Alternativa Incorreta. - Alternativa C (x3 = 0):
x_3 é a segunda variável mais valiosa. A restrição x_3 + x_4 \leq 150 permite que x_3 chegue a 150. Não há motivo lógico para o otimizador deixar x_3 zerado. Alternativa Incorreta. - Alternativa D (x3 entre 100 e 180):
Como a restrição é x_3 + x_4 \leq 150 e o sistema prefere x_3, o valor ótimo de x_3 estará próximo do limite superior de 150.
O valor 150 encontra-se perfeitamente dentro do intervalo de 100 a 180.
Conclusão
A alternativa correta é a D.
Alternativa D - O valor de x3 está entre 100 e 180.