O conceito geométrico de módulo permite interpretar a equação |x - 1| + |x - 3| = 4 da seguinte forma: para quais valores de x a soma das distâncias de x a 1 e x a 3 vale 4? Então: quantos elementos possui o conjunto-solução da equação dada?

Alternativa C

A questão explora a interpretação geométrica do valor absoluto (módulo) na reta numérica. O termo |x - a| representa a distância entre o número x e o número fixo a.

Na equação apresentada:
|x - 1| + |x - 3| = 4

Podemos visualizar dois pontos fixos na reta:

• Ponto A localizado em $1$
• Ponto B localizado em $3$

A distância direta entre esses dois pontos é calculada por:
d(A, B) = |3 - 1| = 2

O enunciado pergunta para quais valores de x a soma das distâncias até $1$ e $3$ é igual a $4$. Como o valor pedido ($4$) é maior que a distância entre os pontos ($2$), as soluções não podem estar entre eles; devem estar fora do intervalo [1, 3].

Para encontrar os elementos exatos, analisamos a equação em três regiões:

• Região 1: $x < 1$
  Os sinais dos termos dentro do módulo mudam:
  -(x - 1) - (x - 3) = 4
  -2x + 4 = 4 \Rightarrow x = 0
  (Este valor satisfaz a condição x < 1)
• Região 2: $1 \leq x \leq 3$
  A soma das distâncias seria exatamente a distância entre 1 e 3, que é constante e igual a 2.
  2 = 4
  (Isso é uma contradição, logo, não há solução neste intervalo)
• Região 3: $x > 3$
  Os sinais permanecem positivos:
  (x - 1) + (x - 3) = 4
  2x - 4 = 4 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4
  (Este valor satisfaz a condição x > 3)

Conclusão:
As soluções encontradas são x = 0 e x = 4. O conjunto-solução é S = \{0, 4\}. Contando os elementos, temos exatamente 2 soluções.

Alternativa C.