O estudo de funções é fundamental na matemática, pois as funções desempenham um papel crucial em modelar relações entre variáveis em diversos contextos. Considere uma função f:ℝ⁺ → ℝ⁺ que é crescente e satisfaz a seguinte condição: f(2x) = 2f(x), para todo x ∈ ℝ⁺. Se f(4) = 8, qual é o valor de f(1).

Alternativa B - 2

Para resolver esta questão, utilizaremos a propriedade funcional fornecida no enunciado para "descer" do valor conhecido f(4) até o valor desconhecido f(1).

Análise Detalhada

A questão apresenta uma função f definida nos números reais positivos (\mathbb{R}^+) com duas características principais:

1. É uma função crescente.
2. Satisfaz a equação funcional: $f(2x) = 2f(x)$.

Sabemos que $f(4) = 8$ e precisamos encontrar $f(1)$.

Passo 1: Relacionar f(4) com f(2)

Podemos escrever $4$ como $2 \times 2$. Aplicando a fórmula dada com x = 2:
f(4) = f(2 \cdot 2) = 2 \cdot f(2)

Como sabemos que f(4) = 8, substituímos na equação:
8 = 2 \cdot f(2)
Dividindo ambos os lados por 2:
f(2) = 4

Passo 2: Relacionar f(2) com f(1)

Agora, podemos escrever $2$ como $2 \times 1$. Aplicando a fórmula novamente com x = 1:
f(2) = f(2 \cdot 1) = 2 \cdot f(1)

Já calculamos que f(2) = 4, então substituímos esse valor:
4 = 2 \cdot f(1)
Dividindo ambos os lados por 2:
f(1) = 2

Verificação da Monotonicidade

É interessante notar que os valores encontrados mantêm a função crescente:

• x = 1 \rightarrow f(1) = 2
• x = 2 \rightarrow f(2) = 4
• x = 4 \rightarrow f(4) = 8

Observa-se que à medida que x aumenta ($1 < 2 < 4$), o valor de f(x) também aumenta ($2 < 4 < 8$), o que confirma a consistência da resposta com a condição de crescimento da função. Uma função simples que satisfaz tudo isso é f(x) = 2x.

Conclusão:
O valor de f(1) é 2, o que corresponde à Alternativa B.