Resposta: Ano de 2019
Para encontrar quando o preço caiu pela metade, precisamos determinar o valor de t em que o preço atinge 50% do valor inicial.
Passo 1: Identificar os dados
| Grandeza | Valor |
|---|
| Preço inicial | R$ 120.000 |
| Preço na metade | R$ 60.000 |
| Função | p(t) = 120.000 \cdot (0,8)^t |
| Ano de compra | 2016 |
| Dado adicional | \log(2) = 0,30 |
Passo 2: Montar a equação
Quando o preço cai pela metade:
60.000 = 120.000 \cdot (0,8)^t
Dividindo ambos os lados por 120.000:
\frac{1}{2} = (0,8)^t \quad \text{ou} \quad 0,5 = (0,8)^t
Passo 3: Aplicar logaritmo
Aplicando logaritmo decimal em ambos os lados:
\log(0,5) = \log((0,8)^t)
Usando propriedades dos logaritmos (\log(a^b) = b \cdot \log(a)):
\log(0,5) = t \cdot \log(0,8)
Sabemos que \log(0,5) = \log(\frac{1}{2}) = -\log(2) = -0,30
Passo 4: Calcular log(0,8)
\log(0,8) = \log\left(\frac{8}{10}\right) = \log(8) - \log(10)
Como \log(8) = \log(2^3) = 3 \cdot \log(2) = 3 \cdot 0,30 = 0,90:
\log(0,8) = 0,90 - 1 = -0,10
Passo 5: Resolver para t
Substituindo na equação:
-0,30 = t \cdot (-0,10)
t = \frac{-0,30}{-0,10} = 3
Passo 6: Encontrar o ano
O preço cai pela metade após 3 anos da compra:
2016 + 3 = 2019
Análise
- A função modela uma depreciação exponencial com razão 0,8 (cada ano perde 20% do valor)
- O tempo de vida útil até valer metade é chamado de tempo de meia-vida neste contexto
- O cálculo usa propriedade fundamental dos logaritmos para resolver equações exponenciais
Conclusão: O preço do automóvel caiu pela metade no ano de 2019.