Observe a sequência de figuras. Na figura de número n, quantos quadrados serão usados?

Question

Observe a sequência de figuras. Na figura de número n, quantos quadrados serão usados? A) 3n. B) 3n + 1. C) 3(n + 1). D) (n + 1)³.

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Alternativa B $3n + 1$ Para encontrar a fórmula que representa a quantidade de quadrados na figura de número $n$, vamos analisar a contagem dos quadrados em cada caso apresentado na sequência. 1. Contagem dos elementos: Observe quantos quadrados existem em cada figura numerada: Para $n = 1$: Temos 1 quadrado no topo e 3 na base. Total: 4 quadrados . Para $n = 2$: Temos 1 quadrado no topo, mais 3 no meio e 3 na base. Total: 7 quadrados . Para $n = 3$: Temos 1 quadrado no topo, mais duas camadas de 3 abaixo dele. Total: 10 quadrados . 2. Identificação do Padrão (Progressão Aritmética): Note que a quantidade de quadrados aumenta sempre em 3 unidades a cada nova figura: $$4 ightarrow 7 ightarrow 10 ightarrow \dots$$ Isso caracteriza uma Progressão Aritmética (PA) onde: O primeiro termo ($a 1$) é 4. A razão ($r$), que é o aumento constante, é 3. A fórmula geral para o $n$ ésimo termo de uma PA é: $$a n = a 1 + (n 1) \cdot r$$ Substituindo nossos valores: $$a n = 4 + (n 1) \cdot 3$$ $$a n = 4 + 3n 3$$ $$a n = 3n + 1$$ 3. Verificação pelas Alternativas: Podemos testar diretamente com $n=1$ (que deve dar 4): | Alternativa | Fórmula | Teste ($n=1$) | Resultado | Correto? | | : | : | : | : | : | | A | $3n$ | $3 	imes 1$ | 3 | Não | | B | $3n + 1$ | $3 	imes 1 + 1$ | 4 | Sim | | C | $3(n + 1)$ | $3 	imes (1 + 1)$ | 6 | Não | | D | $(n + 1)^3$ | $(1 + 1)^3$ | 8 | Não | A única fórmula que se mantém consistente com a contagem visual e a lógica matemática é a letra B .

Explicação passo a passo

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Alternativa	Fórmula	Teste ( $n=1$ )	Resultado	Correto?
A	$3n$	$3 \times 1$	3	Não
B	$3n + 1$	$3 \times 1 + 1$	4	Sim
C	$3(n + 1)$	$3 \times (1 + 1)$	6	Não
D	$(n + 1)^3$	$(1 + 1)^3$	8	Não