Resolução da Questão
Alternativa A - $72^8$
Esta questão trata de um problema clássico de Análise Combinatória, especificamente sobre o Princípio Fundamental da Contagem. Para encontrar o número total de combinações possíveis para uma senha, precisamos calcular quantas opções existem para cada posição do código e, em seguida, elevar esse total à potência correspondente ao número de caracteres.
O primeiro passo é determinar o total de caracteres disponíveis para compor a senha. Somamos todas as categorias mencionadas no enunciado:
- Letras maiúsculas: 26 opções
- Letras minúsculas: 26 opções
- Dígitos (números): 10 opções
- Caracteres especiais: 10 opções
\text{Total de Opções} = 26 + 26 + 10 + 10 = 72
Isso significa que temos 72 possibilidades distintas para preencher qualquer casa individual da senha.
Como a senha deve ter 8 caracteres, aplicamos o princípio fundamental da contagem multiplicando as opções para cada uma das 8 posições independentes:
\underbrace{72 \times 72 \times 72 \times 72 \times 72 \times 72 \times 72 \times 72}_{\text{8 vezes}} = 72^8
Análise Detalhada
- Base do Expoente: Representa o universo de símbolos disponíveis. Como somamos todos os tipos de caracteres ($26+26+10+10$), obtemos 72.
- Expoente da Base: Representa o tamanho da senha. O enunciado especifica explicitamente que a senha tem 8 caracteres.
- Por que não outras alternativas?
- A alternativa E ($52^8$) considera apenas as letras (maiúsculas + minúsculas), ignorando números e símbolos.
- A alternativa D ($72^6$) usa a quantidade correta de caracteres, mas erra o tamanho da senha (6 em vez de 8).
- As alternativas B e C utilizam bases e expoentes incorretos sem lógica matemática direta com os dados fornecidos.
Conclusão:
A fórmula correta para calcular as combinações é o total de opções elevado ao número de posições. Portanto, a resposta correta é $72^8$.