Se um inteiro é divisível por 6, então duas vezes esse inteiro é divisível por 4. Nesse contexto, analise as afirmações a seguir de tal forma que seja possível demonstrar que tal proposição é verdadeira. Suponhamos que n é um inteiro divisível por 6, isto é, n = 6q, para algum inteiro q. II. Vamos analisar o dobro do número n. III. Logo: 2n = 12q = 4(3q) = 4k, onde k = 3q é um inteiro q.

Alternativa E - I, II e III

Para responder a esta questão, precisamos entender o fluxo lógico de uma demonstração matemática baseada na definição de divisibilidade. O objetivo é provar a implicação: "Se n é divisível por 6, então $2n$ é divisível por 4".

Vamos analisar cada etapa proposta nas afirmações:

Análise Detalhada

1. Afirmação I (Premissa Inicial):

• "Suponhamos que n é um inteiro divisível por 6, isto é, n = 6q, para algum inteiro q."
• Correto. Esta é a definição formal de divisibilidade. Para começar a prova, assumimos a hipótese dada no enunciado. Se n é múltiplo de 6, ele pode ser escrito como $6$ multiplicado por um número inteiro qualquer (q).

1. Afirmação II (Planejamento do Passo Intermediário):

• "Vamos analisar o dobro do número n."
• Correto. O enunciado pede para verificar se "duas vezes esse inteiro" é divisível por 4. Portanto, o próximo passo lógico natural é isolar o termo $2n$ para testar sua propriedade.

1. Afirmação III (Desenvolvimento Algébrico e Conclusão):

• "Logo: $2n = 2(6q) = 12q = 4(3q) = 4k$, onde k = 3q é um inteiro..."
• Correto. Aqui ocorre a manipulação algébrica necessária:
• Substituímos n por $6q$: $2n = 2(6q) = 12q$.
• Fatoramos o $12$ para extrair o fator $4$: $12q = 4(3q)$.
• Definimos k = 3q. Como $3$ e q são inteiros, seu produto k também é um inteiro.
• Chegamos à forma $2n = 4k$, que prova matematicamente que $2n$ é múltiplo de 4.
• (Nota: Há um pequeno erro de digitação no final da frase da imagem "é um inteiro q", deveria ser "é um inteiro", mas a lógica da equação está correta).

Conclusão

As três afirmações formam um raciocínio completo e correto para demonstrar a proposição solicitada. Elas cobrem a definição inicial, o objetivo da análise e a execução da álgebra que leva à conclusão.

Portanto, a alternativa que indica que todas estão corretas é a E.