Seja a = 2√3 = 2√2. O valor de (a + b)³ é igual a

Para resolver esta questão, precisamos analisar os valores dados e identificar qual operação resulta em uma das alternativas apresentadas.

Dados da questão:

• a = 2\sqrt{3}
• b = 2\sqrt{2}
• Expressão a calcular: (a + b)^n (onde n é o expoente)

Análise Preliminar

Se tentássemos calcular apenas o quadrado (a + b)^2, o resultado seria:
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
= (2\sqrt{3})^2 + 2(2\sqrt{3})(2\sqrt{2}) + (2\sqrt{2})^2
= 12 + 8\sqrt{6} + 8 = 20 + 8\sqrt{6}

Observando as alternativas, nenhum deles corresponde a $20 + 8\sqrt{6}. No entanto, se analisarmos as opções, notamos termos separados com $\sqrt{3} e \sqrt{2}, o que sugere fortemente que a operação envolvida é o Cubo da Soma (a + b)^3, e não o quadrado.

Resolução Passo a Passo (Cubo da Soma)

A fórmula do cubo da soma é:
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

Vamos calcular cada termo individualmente:

1. Calcular a^3:
   a^3 = (2\sqrt{3})^3 = 2^3 \cdot (\sqrt{3})^3 = 8 \cdot 3\sqrt{3} = 24\sqrt{3}
2. Calcular b^3:
   b^3 = (2\sqrt{2})^3 = 2^3 \cdot (\sqrt{2})^3 = 8 \cdot 2\sqrt{2} = 16\sqrt{2}
3. Calcular $3a^2b$:
   3a^2b = 3 \cdot (2\sqrt{3})^2 \cdot (2\sqrt{2})
   = 3 \cdot 12 \cdot 2\sqrt{2} = 72\sqrt{2}
4. Calcular $3ab^2$:
   3ab^2 = 3 \cdot (2\sqrt{3}) \cdot (2\sqrt{2})^2
   = 3 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 8 = 48\sqrt{3}

Agrupamento dos Resultados

Agora, somamos todos os termos calculados:
(a + b)^3 = (24\sqrt{3} + 48\sqrt{3}) + (16\sqrt{2} + 72\sqrt{2})

• Termos com \sqrt{3}: $24 + 48 = 72 \rightarrow 72\sqrt{3}$
• Termos com \sqrt{2}: $16 + 72 = 88 \rightarrow 88\sqrt{2}$

Resultado Final: $72\sqrt{3} + 88\sqrt{2}$

Análise das Alternativas

Comparando nosso resultado com as opções disponíveis:

A alternativa que corresponde ao cálculo do cubo da soma é a letra D. Note que o expoente na imagem pode estar ligeiramente ilegível ou ser um "3" estilizado, dado que o cálculo do quadrado não gera nenhuma das respostas possíveis.

Alternativa D