Seja f: ℝ → ℝ definida por f(x) = -x - 1, se x ≤ -1 -x² + 1, se -1 < x < 1 x - 1, se x ≥ 1 , o conjunto imagem de f é dado por:

Alternativa C - [0, +\infty[

Para encontrar o conjunto imagem de uma função definida por partes, devemos analisar o intervalo de valores assumidos por cada ramo da função e, em seguida, realizar a união desses intervalos.

Análise Detalhada

Vamos calcular a imagem de cada uma das três partes da função:

1. Primeira parte: f(x) = -x - 1, para x \leq -1.

• É uma função afim decrescente.
• No limite x = -1: f(-1) = -(-1) - 1 = 0.
• À medida que x diminui (vai para -\infty), -x aumenta.
• Logo, os valores de y variam de $0$ até +\infty.
• Imagem parcial 1: [0, +\infty[

1. Segunda parte: f(x) = -x^2 + 1, para -1 < x < 1.

• Trata-se de uma parábola com concavidade para baixo (coeficiente principal negativo).
• O vértice ocorre em x = 0, onde f(0) = -(0)^2 + 1 = 1. Este é o valor máximo deste trecho.
• Nas extremidades do domínio (x tendendo a -1 ou $1$), o valor de y tende a $0$ (pois -1^2 + 1 = 0).
• Como o domínio é aberto (-1, 1), o valor $0$ não é atingido estritamente neste trecho, mas o valor $1$ é atingido.
• Imagem parcial 2: (0, 1]

1. Terceira parte: f(x) = x - 1, para x \geq 1.

• É uma função afim crescente.
• No início do domínio x = 1: f(1) = 1 - 1 = 0.
• À medida que x cresce, y também cresce sem limite.
• Imagem parcial 3: [0, +\infty[

Conclusão

O conjunto imagem final é a união das imagens parciais calculadas acima:

Como o conjunto [0, +\infty[ já engloba todos os outros intervalos possíveis, o resultado simplificado é:

Portanto, a alternativa correta é a C.