Seja $f: ightarrow ext{IR}$, definida $f(x) = egin{cases} 3x + 3, x ext{ ≤ 0}; \ x^2 + 4x + 3, x > 0. ext{ Podemos afirmar que:}

Alternativa C

A questão envolve o estudo de funções definidas por partes, exigindo a análise de sua injeção, sobrejeção e o cálculo da função inversa. Vamos decompor o problema passo a passo para chegar à conclusão.

Análise da Função

Primeiro, analisamos o comportamento da função f(x) em seus dois domínios distintos para determinar se ela é bijetora (injetora e sobrejetora).

1. Primeira parte (x \leq 0):

• A expressão é f(x) = 3x + 3.
• Trata-se de uma função linear crescente.
• No ponto x = 0, temos f(0) = 3.
• Conforme x diminui (vai para -\infty), f(x) também diminui.
• O conjunto imagem desta parte é (-\infty, 3].

1. Segunda parte (x > 0):

• A expressão é f(x) = x^2 + 4x + 3.
• É uma parábola com concavidade para cima. O vértice está em x_v = -2.
• Como nosso domínio é x > 0, estamos estudando apenas o ramo da parábola onde a função é crescente.
• O limite quando x se aproxima de 0 é $3$, mas como x > 0, o valor nunca chega a ser 3 nesta parte.
• O conjunto imagem desta parte é (3, \infty).

Classificação da Função:

• Sobrejetora: A união das imagens (-\infty, 3] e (3, \infty) cobre todo o conjunto dos números reais \mathbb{R}. Logo, é sobrejetora.
• Injetora: Como ambos os trechos são estritamente crescentes e os intervalos de imagem não se sobrepõem (um termina em 3, o outro começa acima de 3), não existem dois valores de x diferentes que gerem o mesmo y. Logo, é injetora.

Uma função que é injetora e sobrejetora é chamada de bijetora. Isso elimina as alternativas A e B.

Cálculo da Função Inversa

A notação f^{-1}(y) refere-se ao valor de x que resulta em y. Vamos testar os valores pedidos nas alternativas C, D e E.

• Testando f^{-1}(3):
  Procuramos x tal que f(x) = 3.
• Tenta-se no primeiro caso (x \leq 0):
  3x + 3 = 3 \Rightarrow 3x = 0 \Rightarrow x = 0
  O valor $0$ pertence ao domínio deste caso ($0 \leq 0$). Portanto, é uma solução válida.
• Tenta-se no segundo caso (x > 0):
  x^2 + 4x + 3 = 3 \Rightarrow x^2 + 4x = 0 \Rightarrow x(x+4) = 0
  As raízes são $0$ e -4. Nenhuma delas é maior que $0$.
• Conclusão: O único pré-imagem de $3$ é $0$. Logo, $f^{-1}(3) = 0$.
• Testando f^{-1}(0):
  Procuramos x tal que f(x) = 0.
• Tenta-se no primeiro caso (x \leq 0):
  3x + 3 = 0 \Rightarrow 3x = -3 \Rightarrow x = -1
  O valor -1 é válido.
• Conclusão: f^{-1}(0) = -1.
• As alternativas D e E afirmam que f^{-1}(0) é $1$ ou -2, o que é falso.

Portanto, a única afirmação verdadeira é que a função é bijetora e a imagem inversa de 3 é 0.

Alternativa C