Sendo x[n] = -2δ[n + 1] + 2δ[n] + δ[n - 1] - δ[n - 3] Determinar y[n] = -δ[n - n+1]

Question

Sendo x[n] = 2δ[n + 1] + 2δ[n] + δ[n 1] δ[n 3] Determinar y[n] = δ[n n+1] A) y[n] = δ[n 2] + δ[n] + 2δ[n + 1] 2δ[n + 2] B) y[n] = δ[n + 2] + δ[n] + 2δ[n 1] 2δ[n 2] C) y[n] = δ[n + 2] + δ[n] + 2δ[n 1] + 2δ[n 2] D) y[n] = δ[n + 2] δ[n] 2δ[n 1] + 2δ[n 2] E) y[n] = δ[n 2] δ[n] 2δ[n + 1] + 2δ[n + 2]

Sapien IA · Accepted Answer

Alternativa B A questão solicita o cálculo de um novo sinal $y[n]$ a partir de uma transformação linear e temporal do sinal original $x[n]$. O processo envolve substituição direta da variável e uso da propriedade de simetria da função impulso (delta de Kronecker). Análise Detalhada Para resolver, precisamos aplicar a definição dada: $y[n] = x[ n+1]$. Isso significa que devemos substituir toda ocorrência de "$n$" na expressão original de $x[n]$ pelo termo "$ n+1$". Passo 1: Substituição Direta A expressão original é: $$x[n] = 2\delta[n+1] + 2\delta[n] + \delta[n 1] \delta[n 3]$$ Substituindo $n$ por $( n+1)$ em todos os termos: $$y[n] = 2\delta[( n+1)+1] + 2\delta[( n+1)] + \delta[( n+1) 1] \delta[( n+1) 3]$$ Passo 2: Simplificação dos Argumentos Realizamos as operações aritméticas dentro dos parênteses dos deltas: | Termo Original | Argumento Substituído | Resultado Intermediário | | : | : | : | | $ 2\delta[n+1]$ | $ n+1+1$ | $ 2\delta[ n+2]$ | | $+2\delta[n]$ | $ n+1$ | $+2\delta[ n+1]$ | | $+\delta[n 1]$ | $ n+1 1$ | $+\delta[ n]$ | | $ \delta[n 3]$ | $ n+1 3$ | $ \delta[ n 2]$ | A expressão fica: $$y[n] = 2\delta[ n+2] + 2\delta[ n+1] + \delta[ n] \delta[ n 2]$$ Passo 3: Propriedade de Simetria do Delta A função impulso discreto $\delta[k]$ é definida como 1 se $k=0$ e 0 caso contrário. Ela é uma função par, ou seja, $\delta[ k] = \delta[k]$. Podemos usar isso para remover os sinais negativos dos argumentos: $\delta[ n+2] = \delta[ (n 2)] = \delta[n 2]$ $\delta[ n+1] = \delta[ (n 1)] = \delta[n 1]$ $\delta[ n] = \delta[n]$ $\delta[ n 2] = \delta[ (n+2)] = \delta[n+2]$ Aplicando essas equivalências aos coeficientes encontrados no Passo 2: $ 2\delta[ n+2] \Rightarrow 2\delta[n 2]$ $+2\delta[ n+1] \Rightarrow +2\delta[n 1]$ $+\delta[ n] \Rightarrow +\delta[n]$ $ \delta[ n 2] \Rightarrow \delta[n+2]$ Montando a expressão final ordenada: $$y[n] = \delta[n+2] + \delta[n] + 2\delta[n 1] 2\delta[n 2]$$ Comparação com as Alternativas Observando a lista de opções: A) Incorreta (argumentos e coeficientes não batem). B) Correta. A expressão $ \delta[n+2] + \delta[n] + 2\delta[n 1] 2\delta[n 2]$ corresponde exatamente ao nosso resultado. C), D), E) Incorretas (sinais ou coeficientes divergentes). Conclusão A alternativa que representa corretamente o sinal transformado é a B .

Termo Original	Argumento Substituído	Resultado Intermediário
$-2\delta[n+1]$	$-n+1+1$	$-2\delta[-n+2]$
$+2\delta[n]$	$-n+1$	$+2\delta[-n+1]$
$+\delta[n-1]$	$-n+1-1$	$+\delta[-n]$
$-\delta[n-3]$	$-n+1-3$	$-\delta[-n-2]$

Explicação passo a passo

Análise Detalhada

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