Suponha que você precisa otimizar o custo de produção de um componente estrutural, cujo custo total C(x,y) é modelado pela função: C(x,y) = x² + y² - 4x - 6y + 10 onde x e y representam as quantidades de dois insumos utilizados na fabricação, medidos em toneladas. Para minimizar o custo, é necessário identificar e classificar os pontos críticos da função.

Alternativa A - A função possui um ponto de mínimo local em (2,3).

Introdução ao Problema

O exercício apresenta uma função de custo C(x,y) e solicita a identificação e classificação de seu ponto crítico usando o teste da segunda derivada. O objetivo prático é encontrar a combinação de insumos (x e y) que resulta no menor custo possível.

Desenvolvimento da Solução

Para resolver, seguiremos os passos indicados no próprio enunciado da questão:

1. Encontrar o Ponto Crítico

Primeiro, precisamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem em relação a x e y e igualá-las a zero.

Derivadas parciais:

• f_x = \frac{\partial C}{\partial x} = 2x - 4
• f_y = \frac{\partial C}{\partial y} = 2y - 6

Igualando a zero para achar o ponto crítico:

• 2x - 4 = 0 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2
• 2y - 6 = 0 \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow y = 3

Portanto, o ponto crítico é $P(2,3)$.

2. Calcular o Determinante Hessianiano (D)

Agora calculamos as derivadas de segunda ordem para determinar a natureza do ponto encontrado.

• f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}(2x - 4) = 2
• f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}(2y - 6) = 2
• f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}(2x - 4) = 0

Calculando o determinante D:
D = f_{xx} \cdot f_{yy} - (f_{xy})^2
D = (2) \cdot (2) - (0)^2
D = 4

3. Classificar o Ponto

Utilizamos as regras fornecidas na imagem para classificar o ponto P(2,3):

Como D é positivo e a derivada f_{xx} é positiva, a função tem um formato côncavo para cima nessa região (como uma bacia), caracterizando um ponto de mínimo.

Conclusão

A análise matemática confirma que a função atinge seu valor mínimo quando x=2 e y=3. Portanto, a alternativa correta é a A, que afirma existir um ponto de mínimo local em (2,3).