Três tipos importantes de funções são as injetoras, sobrejetoras e bijetoras. Considere uma função f:R→R, onde f(x)=2x+1. Qual das seguintes afirmações é verdadeira sobre essa função?

Alternativa C - A função f é injetora e sobrejetora.

Para determinar a natureza da função f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} dada por f(x) = 2x + 1, precisamos verificar duas propriedades fundamentais: injetividade e sobrejetividade.

Análise Detalhada

1. Função Injetora

Uma função é considerada injetora quando elementos diferentes do domínio geram imagens diferentes. Matematicamente, se f(x_1) = f(x_2), então deve ser obrigatoriamente x_1 = x_2.

Vamos testar com a nossa função:
f(x_1) = f(x_2)
2x_1 + 1 = 2x_2 + 1
Subtraindo 1 de ambos os lados:
2x_1 = 2x_2
Dividindo por 2:
x_1 = x_2

Como a igualdade das imagens implica a igualdade dos argumentos, a função é injetora. Geometricamente, isso significa que ela corta qualquer reta horizontal no máximo em um ponto (crescente estrita).

2. Função Sobrejetora

Uma função é sobrejetora quando todo elemento do contradomínio possui pelo menos um antecessor no domínio. Em outras palavras, o conjunto Imagem da função deve ser igual ao contradomínio (Im(f) = \mathbb{R}).

Para verificar, pegamos um valor genérico y no contradomínio e vemos se conseguimos encontrar um x:
y = f(x)
y = 2x + 1
Isolando o x:
2x = y - 1
x = \frac{y - 1}{2}

Como o domínio é \mathbb{R} (números reais), para qualquer número real y que escolhermos, o resultado \frac{y-1}{2} também será um número real. Isso garante que todas as saídas possíveis existem. Portanto, a função é sobrejetora.

Conclusão

Como a função f(x) = 2x + 1 satisfaz ambas as condições, ela é classificada como:

Portanto, a alternativa correta é a C, pois afirma que a função é injetora e sobrejetora.