Um comerciante estima que seu lucro ao vender n mercadorias de um certo produto é dado por L = (2n³ - n² - n + 1) / (2n - 1), em que 2n ≠ 1. A expressão simplificada do lucro desse comerciante é:

Alternativa B - n^2 - 1

Análise Detalhada

A questão solicita a simplificação de uma expressão algébrica racional:
L = \frac{2n^3 - n^2 - n + 1}{2n - 1}

Para simplificar essa fração, o numerador deve ser divisível pelo denominador ($2n - 1$). Ao analisar os termos, percebemos que há uma inconsistência no enunciado impresso, pois o termo linear é -n, enquanto a lógica matemática das alternativas exige que seja -2n.

Passos para a Solução (Corrigindo o Provável Erro)

Assumindo que o termo correto no numerador seja -2n (para que a conta feche com as opções dadas), o processo de fatoração ocorre da seguinte forma:

1. Reescrever o numerador com o termo ajustado:
   2n^3 - n^2 - 2n + 1
2. Aplicar o método de agrupamento:
   Agrupamos os dois primeiros termos e os dois últimos:
   (2n^3 - n^2) - (2n - 1)
3. Colocar em evidência:
   No primeiro grupo, colocamos n^2 em evidência:
   n^2(2n - 1) - 1(2n - 1)
4. Identificar o fator comum:
   Agora, tanto o primeiro quanto o segundo termo possuem (2n - 1):
   (n^2 - 1)(2n - 1)
5. Simplificar a fração:
   Substituímos o numerador na expressão original e cancelamos o fator comum com o denominador:
   L = \frac{(n^2 - 1)(2n - 1)}{2n - 1}
   L = n^2 - 1

Verificação das Alternativas

• Alternativa A (n^2 + 1): Resultaria em $2n^3 - n^2 + 2n - 1$. Incorreto.
• Alternativa B (n^2 - 1): Resulta em $2n^3 - n^2 - 2n + 1$. Correto (considerando a correção do termo -n para -2n).
• Alternativas C e D: São polinômios de grau 3, o que não seria possível após a simplificação de uma fração com denominador de grau 1.

Conclusão:
A expressão simplificada do lucro é $n^2 - 1$.