Alternativa E
Para resolver esta questão de Processamento Digital de Sinais, utilizaremos a propriedade da Transformada Z para converter a equação de diferenças do sistema e o sinal de entrada para o domínio da frequência complexa (z).
Análise Detalhada
1. Transformada Z da Equação do Sistema
Primeiro, aplicamos a Transformada Z direta na equação dada, lembrando que o atraso no tempo n-k corresponde à multiplicação por z^{-k} no domínio z.
A equação original é:
y[n] = x[n] - 0.2x[n-1] + 0.25y[n-2]
Reorganizando os termos de saída y[n] para um lado:
y[n] - 0.25y[n-2] = x[n] - 0.2x[n-1]
Aplicando a Transformada Z:
Y(z) - 0.25z^{-2}Y(z) = X(z) - 0.2z^{-1}X(z)
Fatorando as variáveis:
Y(z)(1 - 0.25z^{-2}) = X(z)(1 - 0.2z^{-1})
Obtemos a Função de Transferência H(z) dividindo Y(z) por X(z):
H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{1 - 0.2z^{-1}}{1 - 0.25z^{-2}}
2. Transformada Z do Sinal de Entrada
O sinal de entrada é dado por:
x[n] = \delta[n] - 0.25\delta[n-2]
Sabendo que a Transformada Z do impulso unitário \delta[n] é $1$, temos:
X(z) = 1 - 0.25z^{-2}
3. Cálculo do Sinal de Saída $Y(z)$
A saída no domínio z é o produto da função de transferência pela entrada:
Y(z) = H(z) \cdot X(z)
Substituindo as expressões encontradas:
Y(z) = \left( \frac{1 - 0.2z^{-1}}{1 - 0.25z^{-2}} \right) \cdot (1 - 0.25z^{-2})
Note que o termo (1 - 0.25z^{-2}) aparece tanto no denominador quanto no numerador. Eles se cancelam perfeitamente:
Y(z) = 1 - 0.2z^{-1}
4. Transformada Inversa Z
Finalmente, retornamos ao domínio do tempo aplicando a Transformada Z inversa em cada termo de Y(z):
- O termo constante $1$ corresponde a \delta[n].
- O termo -0.2z^{-1} corresponde a -0.2\delta[n-1].
Portanto, o sinal de saída é:
y[n] = \delta[n] - 0.2\delta[n-1]
Isso corresponde exatamente à Alternativa E.