Um determinado sistema é definido pela seguinte equação de diferenças: y[n] = x[n] - 2x[n - 1] - 2y[n - 1] Qual das seguintes afirmações está correta?

Alternativa A - Somente i

Para resolver esta questão de Processamento Digital de Sinais, precisamos analisar a equação de diferenças fornecida e aplicar a Transformada Z para encontrar a função de transferência e avaliar a estabilidade do sistema.

Análise Detalhada

1. Determinação da Função de Transferência H(z)

A equação de diferenças dada é:
y[n] = x[n] - 2x[n - 1] - 2y[n - 1]

Aplicamos a Transformada Z bilateral em ambos os lados, lembrando que um deslocamento no tempo n-k corresponde a z^{-k} no domínio da frequência complexa:
Y(z) = X(z) - 2z^{-1}X(z) - 2z^{-1}Y(z)

Agrupamos os termos contendo Y(z) no lado esquerdo e X(z) no lado direito:
Y(z) + 2z^{-1}Y(z) = X(z) - 2z^{-1}X(z)
Y(z)(1 + 2z^{-1}) = X(z)(1 - 2z^{-1})

A função de transferência H(z) é definida como a razão entre a saída e a entrada (H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)}):
H(z) = \frac{1 - 2z^{-1}}{1 + 2z^{-1}}

Isso confirma que a afirmação i é verdadeira.

2. Análise dos Polos e da RDC (Região de Convergência)

Para analisar a estabilidade e a RDC, encontramos os polos da função de transferência (raízes do denominador):
1 + 2z^{-1} = 0 \Rightarrow 1 = -2z^{-1} \Rightarrow z = -2

O sistema possui um único polo em z = -2.

• Magnitude do polo: |-2| = 2.

A RDC depende da causalidade do sistema. Assumindo o caso padrão de sistemas causais:

• A RDC deve ser externa ao polo mais externo: |z| > |-2| \Rightarrow |z| > 2.

A afirmação ii diz que a RDC é |z| > 0,7. Como o limite correto é $2$, essa afirmação está incorreta.

3. Análise da Estabilidade

Um sistema linear e invariante no tempo (LIT) é estável se e somente se a sua RDC incluir o círculo unitário (|z| = 1).

• Polo: z = -2 (fora do círculo unitário, pois $2 > 1$).
• Sistema Causal: A RDC seria |z| > 2. O círculo unitário (|z|=1) não está incluído. Portanto, o sistema é instável.
• Sistema Anti-causal: A RDC seria |z| < 2. O círculo unitário estaria incluído, tornando-o estável. No entanto, em questões de análise de sistemas definidos por equações de diferenças sem menção explícita à não-causalidade, assume-se comportamento causal (realizável).

Como o polo está fora do círculo unitário, o sistema causal correspondente é instável. Logo, a afirmação iii é falsa.

Conclusão

• i. Verdadeira (função de transferência correta).
• ii. Falsa (a fronteira da RDC é 2, não 0,7).
• iii. Falsa (o sistema causal é instável pois o polo está fora do círculo unitário).

Portanto, apenas a afirmação i está correta.

Alternativa A.