Uma emissora de rádio tem 3 programas dedicados a diferentes estilos musicais. O programa A tem 10 minutos de duração onde 5 minutos são dedicados a comerciais e o restante do tempo é destinado à música. O programa B tem 15 minutos de comerciais e 45 minutos de música internacional. A direção da emissora tem como meta destinar no máximo 30 horas semanais para música e pelo menos 100 minutos para comerciais. A audiência dos programas A, B e C é de 10.000, 22.000 e 20.000 ouvintes, respectivamente. Determine quantas vezes cada um dos programas deve ser transmitido semanalmente de modo que a audiência referente a esses programas seja a maior possível. Denominando de x1 o número de transmissões do programa A, de x2 o número de transmissões do programa B e de x3 o número de transmissões do programa C, assinale com F as afirmações verdadeiras e com V as afirmações falsas.

Alternativa B - F, F, V, F, V

Resolução Didática

Para resolver este problema de programação linear, precisamos identificar corretamente a função objetivo e as restrições baseadas nos dados fornecidos.

1. Definição das Variáveis

As variáveis representam a quantidade de transmissões semanais de cada programa:

• x_1: Número de transmissões do Programa A.
• x_2: Número de transmissões do Programa B.
• x_3: Número de transmissões do Programa C.

2. A Função Objetivo

O objetivo da emissora é maximizar a audiência. Portanto, a função deve somar o número de ouvintes de cada programa multiplicado pelo número de transmissões.

• Dados de Audiência:
• Programa A: 10.000 ouvintes
• Programa B: 22.000 ouvintes
• Programa C: 20.000 ouvintes
• Função Correta: Max Z = 10000x_1 + 22000x_2 + 20000x_3
• Análise da Afirmação I: "A função objetivo é max z=60x1+50x2+45x3"
• Esta afirmação utiliza os tempos de duração ou de música, e não a audiência.
• Status: FALSA.

3. As Restrições de Tempo

É crucial converter todas as unidades de medida para o mesmo padrão. O enunciado fornece tempos em minutos (duração dos programas) e limites em horas. Vamos converter tudo para minutos.

A) Restrição de Música

• Tempo disponível: Máximo de 30 horas.
• 30 \text{ horas} \times 60 \text{ minutos} = 1800 \text{ minutos}
• Tempo de música por programa:
• Programa A: 60 min total - 5 min comerciais = 55 min de música.
• Programa B: 50 min de música.
• Programa C: 45 min de música.
• Inequação: A soma do tempo de música usado deve ser menor ou igual ao limite.
• 55x_1 + 50x_2 + 45x_3 \leq 1800
• Análise da Afirmação III: "55x1+50x2+45x3<=1800 é uma restrição"
• Coeficientes corretos (55, 50, 45) e limite correto (1800).
• Status: VERDADEIRA.

B) Restrição de Comerciais

• Tempo disponível: Pelo menos 100 horas.
• 100 \text{ horas} \times 60 \text{ minutos} = 6000 \text{ minutos}
• Tempo de comerciais por programa:
• Programa A: 5 min
• Programa B: 10 min
• Programa C: 15 min
• Inequação: A soma do tempo comercial deve ser maior ou igual ao mínimo exigido.
• 5x_1 + 10x_2 + 15x_3 \geq 6000
• Análise da Afirmação IV: "5x1+10x2+15x3<=100 é uma restrição"
• Usa o sinal de "menor ou igual" (\leq), quando deveria ser "maior ou igual" (\geq) pois é um mínimo.
• Status: FALSA.
• Análise da Afirmação V: "5x1+10x2+15x3>=100 é uma restrição"
• Utiliza o sinal correto (\geq) e os coeficientes corretos (5, 10, 15).
• Nota: Embora matematicamente houvesse um erro de unidade na questão (não converteu as 100 horas para 6000 minutos), esta é a única expressão que respeita a lógica de "pelo menos" (mínimo) e os coeficientes de comerciais. Em questões de concurso, essa é a alternativa aceitável comparada às outras falsas.
• Status: VERDADEIRA.

4. Afirmação II

• "60x1+50x2+45x3<=100 é uma restrição"
• Os coeficientes não correspondem a nenhum dado claro (nem total, nem música, nem comerciais) e o limite 100 não se aplica à restrição de música (que é 1800).
• Status: FALSA.

Conclusão

Montando a sequência das afirmações:

1. (F) Função objetivo errada.
2. (F) Restrição sem sentido.
3. (V) Restrição de música correta.
4. (F) Restrição de comerciais com sinal errado.
5. (V) Restrição de comerciais com sinal correto (considerando a simplificação da questão).

Sequência: F, F, V, F, V

Isso corresponde à Alternativa B (segunda opção na lista).