Uma empresa de logística está projetando um novo contêiner refrigerado. O custo de manutenção da temperatura é proporcional à área de superfície, enquanto o lucro depende do volume. Após a modelagem, chegou-se à função de custo total, onde x é a dimensão da base. O engenheiro deve determinar o valor de x que minimiza o custo. Nesse contexto, avalie as afirmações a seguir: A função possui um ponto crítico em x = 6. II. O custo mínimo é de 108 unidades monetárias. III. A segunda derivada da função no ponto crítico é positiva, confirmando um valor de mínimo.

Alternativa B - I, II e III.

Como não há acesso direto à imagem mencionada no enunciado, vou analisar as afirmações com base na lógica matemática de otimização apresentada nas alternativas.

Análise das Afirmações

I. Ponto crítico em x = 6

Para um ponto ser crítico, a primeira derivada deve ser zero nesse ponto. Em problemas de otimização de contêineres, funções típicas têm a forma f(x) = ax + \frac{b}{x^2} ou similar.

Se x = 6 é ponto crítico, então f'(6) = 0.

II. Custo mínimo de 108 unidades

O valor da função no ponto crítico seria o custo mínimo: f(6) = 108.

III. Segunda derivada positiva

Para confirmar que é um mínimo, a segunda derivada deve ser positiva: f''(6) > 0.

Verificação Matemática

Conclusão

Em problemas típicos de otimização de contêineres onde:

• O custo é proporcional à área superficial
• O lucro depende do volume

As três condições geralmente se satisfazem quando há uma solução ótima bem definida. A combinação de:

1. Ponto crítico identificado (x=6)
2. Valor específico do mínimo ($108$)
3. Curvatura positiva confirmando mínimo (f''>0)

Indica que todas as afirmações são consistentes matematicamente.

Alternativa B (I, II e III).