Alternativa E - (10 x 4)
A questão aborda a estrutura da matriz de delineamento (Matriz X) em um modelo de regressão múltipla. Para determinar o tamanho dessa matriz, precisamos identificar o número de observações e o número de parâmetros estimados.
Desenvolvimento
No modelo de regressão linear escrito na forma matricial:
\mathbf{Y} = \mathbf{X}\boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\epsilon}
Onde:
- \mathbf{Y} é o vetor das variáveis resposta.
- \mathbf{X} é a matriz de variáveis preditoras (design matrix).
- \boldsymbol{\beta} é o vetor dos coeficientes do modelo.
Para encontrar as dimensões de \mathbf{X}, analisamos dois fatores principais:
- Número de Linhas (Observações):
Cada linha da matriz representa uma unidade de observação ou amostra. O enunciado diz que temos uma amostra de 10 clientes.
- Portanto, o número de linhas é 10.
- Número de Colunas (Parâmetros):
Cada coluna representa uma variável utilizada para prever a resposta. Em modelos de regressão padrão, inclui-se sempre uma coluna de uns para representar o termo constante (intercepto), além das colunas para cada variável preditora independente.
- Variáveis preditoras mencionadas: Idade, Valor do veículo, Ano do veículo (3 variáveis).
- Adicionando o intercepto: $3 + 1 = 4$ colunas.
## Análise
Podemos resumir os dados no formato abaixo para visualizar a construção da matriz:
| Dimensão | Quantidade | Motivo |
|---|
| Linhas | 10 | Número de clientes (amostras) |
| Colunas | 4 | 3 Variáveis + 1 Intercepto |
Isso resulta em uma matriz com 10 linhas e 4 colunas, representada como $(10 \times 4)$.
As outras alternativas estão incorretas porque:
- (B) (3 x 10): Representaria a transposta da matriz X (variáveis nas linhas, clientes nas colunas), o que não é a convenção padrão para \mathbf{X}.
- (C) (10 x 1): Seria o tamanho do vetor resposta \mathbf{Y}.
- (D) (4 x 10): Seria a transposta da matriz X.
Portanto, a representação correta da matriz \mathbf{X} é 10 x 4.